众所周知，数学是科学的皇后，有着谜人的魅力，从坐标轴的正直不阿、图象的婀娜风姿、数的巧妙穿插，到方法的巧妙灵活、应用的神奇功效。无不展示她本质的自然美。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。下面从几个方面来欣赏数学美，体验她在思维发展方面的强大功能。

　　一、简洁美——巧夺天工

　　在数学解题的思维中，如果能从简洁、朴素的的角度出发，审视问题的结构，分析问题的特点，转化思考的方向，常常可以获得简洁明快的效果。

　　例1、甲、乙、丙、丁人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过4次传球后，球仍回到甲的手中，有多少种不同的传球方法。

　　分析:可以用画树图的方法得到答案，但我们更注重等价转化。用甲－乙表示“甲”把球传给“乙”，则甲－丁－甲－丙－甲，甲－乙－丁－丙－甲都是满足条件的一种传球方式。若用1、2、3、4分别代替甲、乙、丙、丁，把“甲－丁－甲－丙－甲”看成是1、2、3、4排在5个不同的位置上，它等价于用1、2、3、4四个数字组成5位数，要求个位、首位只能排数字1,且任意相邻两位数字不相同，这样的5位数有多少个？

　　解: 千位有3种排法，若百位排1，则十位有3种涂法，此时有3×3＝9种排法；若百位不排1，则有2种排法，则十位仍有2种排法，此时有3×2×2＝12种，共有9＋12＝21种排法。

　　由此容易想到把问题推广到一般情况：有m人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过n次传球后，球仍回到甲的手中，有多少种不同的传球方法。

　　它等价于：用1，2，3，4，……，m共m个数字组成n+1位数，要求末位、首位只能排数字1,且任意相邻两位数字不相同，这样的n+1位数有多少个？

　　仍用上面的方法讨论较为复杂，解题的关键是前一位排好后，下一位有几种排法，使我们想到用递推关系来解题。